domingo, agosto 12, 2012

Cálculo Vol. 1 6ta Edición – Roland E. Larson


ÍNDICE ANALÍTICO
l. INTRODUCCIÓN
Parte 1. Introducción histórica
Los dos conceptos básicos del Cálculo
Introducción histórica
El método de exhaución para el área de un segmento de parábola
Ejercicios
Análisis crítico del método de Arquímedes
La introducción al Cálculo que se utiliza en este libro
Parte 2. Conceptos básicos de la teoría/ de conjuntos
Introducción a la teoría de conjuntos
Notaciones para designar conjuntos
Subconjuntos
Reuniones, intersecciones, complementos
Ejercicios
Parte 3. Un conjunto de axiomas para el sistema de números reales
Introducción
Axiomas de cuerpo
Ejercicios
Axiomas de orden
Ejercicios
Números enteros y racionales
Interpretación geométrica de los números reales como puntos
de una recta
Cota superior de un conjunto, elemento máximo, extremo superior
Axioma del extremo superior (axioma de completitud)
La propiedad arquimediana del sistema de los números reales
Propiedades fundamentales del extremo superior
Ejercicios
Existencia de raíces cuadradas de los números reales no negativos
Raíces de orden superior. Potencias racionales
Representación de los números reales por medio de decimales
Parte 4. Inducción matemática, símbolos sumatorios y cuestiones relacionadas
Ejemplo de demostración por inducción matemática
El principio de la inducción matemática
El principio de buena ordenación
Ejercicios
Demostración del principio de buena ordenación
El símbolo sumatorio
Ejercicios
Valor absoluto y desigualdad triangular
Ejercicios
Ejercicios varios referentes al método de inducción
1. LOS CONCEPTOS DEL CÁLCULO INTEGRAL
Las ideas básicas de la Geometría cartesiana
Funciones. Ideas generales y ejemplos
Funciones. Definición formal como conjunto de pares ordenados
Más ejemplos de funciones reales
Ejercicios
El concepto de área como función de conjunto
Ejercicios
Intervalos y conjuntos de ordenadas
Particiones y funciones escalonadas
Suma y producto de funciones escalonadas
Ejercicios
Definición de integral para funciones escalonadas
Propiedades de la integral de una función escalonada
Otras notaciones para las integrales
Ejercicios
La integral de funciones más generales
Integrales superior e inferior
El área de un conjunto de ordenadas expresada como una integral
Observaciones relativas a la teoría y técnica de la integración
Funciones monótonas y monótonas a trozos. Definiciones y ejemplos
Integrabilidad de funciones monótonas acotadas
Cálculo de la integral de una función monótona acotada
Cálculo de la integral f~xP dx siendo p entero positivo
Propiedades fundamentales de la integral
Integración de polinomios
Ejercicios
Demostraciones de las propiedades fundamentales de la integral

2. ALGUNAS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
Introducción
El área de una región comprendida entre dos gráficas expresada como una integral
Ejemplos resueltos
Ejercicios
Las funciones trigonométricas
Fórmulas de integración para el seno y el coseno
Descripción geométrica de las funciones seno y coseno
Ejercicios
Coordenadas polares
La integral para el área en coordenadas polares
Ejercicios
Aplicación de la integración al cálculo de volúmenes
Ejercicios
Aplicación de la integración al concepto de trabajo
Ejercicios
Valor medio de una función
Ejercicios
La integral como función del límite superior. Integrales indefinidas
Ejercicios
3. FUNCIONES CONTINUAS
3.1 Idea intuitiva de continuidad 155
3.2 Definición de límite de una función 156
3.3 Definición de continuidad de una función 160
3.4 Teoremas fundamentales sobre límites. Otros ejemplos de funciones continuas 162
3.5 Demostraciones de los teoremas fundamentales sobre límites 167
Ejercicios
Funciones compuestas y continuidad
Ejercicios
Teorema de Bolzano para las funciones continuas
Teorema del valor intermedio para funciones continuas
Ejercicios
El proceso de inversión
Propiedades de las funciones que se conservan por la inversión
Inversas de funciones monótonas a trozos
Ejercicios
Teorema de los valores extremos para funciones continuas
Teorema de la continuidad uniforme
Teorema de integrabilidad para funciones continuas
Teoremas del valor medio para funciones continuas
Ejercicios
4. CÁLCULO DIFERENCIAL
Introducción histórica
Un problema relativo a velocidad
Derivada de una función
Ejemplos de derivadas
Álgebra de las derivadas
Ejercicios
Interpretación geométrica de la derivada como una pendiente
Otras notaciones para las derivadas
Ejercicios
Regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas
Aplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variación ligados y derivación implícita
Ejercicios
Aplicaciones de la derivación a la determinación de los extremos de las funciones
Teorema del valor medio para derivadas
Ejercicios
Aplicaciones del teorema del valor medio a propiedades geométricas de las funciones
Criterio de la derivada segunda para los extremos
Trazado de curvas
Ejercicios
Ejemplos resucitas de problemas de extremos
Ejercicios
Derivadas parciales
Ejercicios
5. RELACIÓN ENTRE INTEGRACIÓN y DERIVACIÓN
5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental de l cá lculo
Teorema de la derivada nula
Funciones primitivas y segundo teorema fundamental del cálculo
Propiedades de una función deducidas de propiedades de su derivada
Ejercicios
La notación de Leibniz para las primitivas
1ntegración por sustitución
Ejercicios
1ntcgración por partes
Ejercicios
Ejercicios de repaso
6. FUNCION LOGARITMO, FUNCIÓN EX POXENCIAL y FUNCIONES TRIGONOMETRICASINVERSAS
Introducción
Definición del logaritmo natural como integral
Definición de logaritmo. Propiedades fundamentales
Gráfica del logaritmo natural
Consecuencias de la ecuación funcional L(ab) = L(a) + L(b)
Logaritmos referidos a una base positiva b =1= 1
Fórmulas de derivación e integración en las que intervienen logaritmos
Derivación logarítmica
Ejercicios
Polinomios de aproximación para el logaritmo
Ejercicios
La función exponencial
Exponenciales expresadas como potencias de e
Definición de e’ para x real cualquiera
Definición de a” para a>O y x real
Fórmulas de derivación e integración en las que intervienen exponenciales
Ejercicios
Funciones hiperbólicas
Ejercicios
Derivadas de funciones inversas
Inversas de las funciones trigonométricas
Ejercicios
Integración por fracciones simples
Integrales que pueden transformarse en integrales de funciones racionales
Ejercicios
Ejercicios de repaso
8.1 Introducción 373
8.2 Terminología y notación 374
8.3 Ecuación diferencial de primer orden para la función exponencial 376
8.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 377
8.5 Ejercicios 381
7. APROXIMACIóN DE FUNCIONES POR POLINOMIOS
Introducción
Polinomios de Taylor engendrados por una función
Cálculo con polinomios de Taylor
Ejercicios
Fórmula de Taylor con resto
Estimación del error en la fórmula de Taylor
Otras formas de la fórmula de TayIor con resto
Ejercicios
Otras observaciones sobre el error en la fórmula de Taylor. La notación 0-
Aplicaciones a las formas indeterminadas
Ejercicios
Regla de L’Hópital para la forma indeterminada O/O
Ejercicios
Los símbolos + 00 y – oo , Extensión de la regla de L’Hópital
Límites infinitos
Comportamiento de log x y ea: para valores grandes de x
Ejercicios
8. INTRODUCCIóN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Algunos problemas físicos que conducen a ecuaciones diferenciales de primer orden
Ejercicios
Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes
Existencia de soluciones de la ecuación y” +by =O
Reducción de la ecuación general al caso particular y” +by =O
Teorema de unicidad para la ecuación y” +by =O
Solución completa de la ecuación y” +by =O
Solución completa de la ecuación y” +ay’ +by =O
Ejercicios
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
Métodos particulares para la determinación de una solución particular de la ecuación no homogénea y”+ay’ +by =R
Ejercicios
Ejemplos de problemas físicos que conducen a ecuaciones lineales
de segundo orden con coeficientes constantes
Ejercicios
Observaciones relativas a las ecuaciones diferenciales no lineales
Curvas integrales y campos direccionales
Ejercicios
Ecuaciones separables de primer orden
Ejercicios
Ecuaciones homogéneas de primer orden
Ejercicios
Algunos problemas físicos y geométricos que conducen a ecuaciones de ‘primer orden
9. NÚMEROS COMPLEJOS
Introducción histórica
Definiciones y propiedades
Los números complejos como una extensión de los números reales
La unidad imaginaria i
Interpretación geométrica. Módulo y argumento
Ejercicios
Exponenciales complejas
Funciones complejas
Ejemplos de fórmulas de derivación e integración
Ejercicios
10. SUCESIONES, SERIES, INTEGRALES IMPROPIAS
La paradoja de Zenón
Sucesiones
Sucesiones monótonas de números reales
Ejercicios
Series infinitas
Propiedad de linealidad de las series convergentes
Series telescópicas
Serie geométrica
Ejercicios
Ejercicios con expresiones decimales
Criterios de convergencia
Criterios de comparación para series de términos no negativos
El criterio integral
Ejercicios
Criterios de la raíz y del cociente para series de términos no negativos
Ejercicios
Series alternadas
Convergencia condicional y absoluta
Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel
Ejercicios
Reordenación de series
Ejercicios varios de repaso
Integrales impropias
Ejercicios
11. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
Convergencia puntual de sucesiones de funciones
Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
Convergencia uniforme y continuidad
Convergencia uniforme e integración
Una condición suficiente para la convergencia uniforme
Series de potencias. Círculo de convergencia
Ejercicios
Propiedades de las funciones representadas por series reales de potencias
Serie de Taylor generada por una función
Condición suficiente para la convergencia de una serie de Taylor
Desarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial y trigonométricas
Teorema de Bernstein
Ejercicios
Series de potencias y ecuaciones diferenciales
La serie binómica
Ejercicios
12. ÁLGEBRA VECTORIAL
Introducción histórica
El espacio vectorial de las n-plas de números reales
Interpretación geométrica para n ::;3
Ejercicios
Producto escalar
Longitud o norma de un vector
Ortogonalidad de vectores
Ejercicios
Proyecciones. Ángulo de dos vectores en el espacio de n dimensiones
Los vectores coordenados unitarios
Ejercicios
Envolvente lineal de un conjunto finito de vecotres
Independencia lineal
Bases
Ejercicios
El espacio vectorial Vn(C) de n-plas de números complejos
Ejercicios

13. APLICACIONES DEL ALGEBRA VECTORIAL A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
13.1 Introducción
13.2 Rectas en el espacio n-dimensional
13.3 Algunas propiedades sencillas de las rectas
13.4 Rectas y funciones vectoriales
13.5 Ejercicios
13.6 Planos en el espacio euclídeo n-dimensional
13.7 Planos y funciones vectoriales
13.8 Ejercicios
13.9 Producto vectorial
El producto vectorial expresado en forma de determinante
Ejercicios
Producto mixto
Regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales
Ejercicios
Vectores normales a planos
Ecuaciones lineales cartesianas para planos
Ejercicios
Las secciones cónicas
Excentricidad de las secciones cónicas
Ecuaciones polares de las cónicas
Ejercicios
Cónicas simétricas respecto al origen
Ecuaciones cartesianas de las cónicas
Ejercicios
Ejercicios varios sobre cónicas
14. CÁLCULO CON FUNCIONES VECTORIALES
Funciones vectoriales de una variable real
Operaciones algebraicas. Componentes
Límites, derivadas e integrales
Ejercicios
Aplicaciones a las curvas. Tangencia
Aplicaciones al movimiento curvilíneo. Vector velocidad, velocidad y aceleración
Ejercicios
Vector tangente unitario, normal principal y plano osculador a una curva
Ejercicios
Definición de longitud de un arco
Aditividad de la longitud de arco
Función longitud de arco
Ejercicios
Curvatura de una curva
Ejercicios
Los vectores velocidad y aceleración en coordenadas polares
Movimiento plano con aceleración radial
Coordenadas cilíndricas
Eiercicios
Aplicaciones al movimiento planetario
Ejercicios de repaso

15. ESPACIOS LINEALES
Introducción
Definición de espacio lineal
Ejemplos de espacios lineales
Consecuencias elementales de los axiomas
Ejercicios
Subespacios de un espacio lineal
Conjuntos dependientes e independientes, en un espacio lineal
Bases y dimensión
Ejercicios
Productos interiores, espacios euclídeos. Normas
Ortogonalidad en un espacio euclídeo
Ejercicios
Construcción de conjuntos ortogonales. Método de Gram-Schmidt
Complementos ortogonales. Proyecciones
Aproximación óptima de elementos de un espacio euclídeo por elementos de un subespacio de dimensión finita
Ejercicios

16. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES
Transformaciones lineales
Núcleo y recorrido
Dimensión del núcleo y rango de la transformación
Ejercicios
Operaciones algebraicas con transformaciones lineales
Inversas
Transformaciones lineales uno a uno
Ejercicios
Transformaciones lineales con valores asignados
Representación matricial de las transformaciones lineales
Construcción de una representación matricial en forma diagonal
Ejercicios
Espacios lineales de matrices
Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices
Multiplicación de matrices
Ejercicios
16.17 Sistemas de ecuaciones lineales
16 .18 Técnicas de cálculo
16.19 Inversas de matrices cuadradas
16.20 Ejercicios
16.21 Ejercicios varios sobre matrices
Soluciones a los ejercicios
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